SHKOLO.RUПриближенное вычисление десятичных дробей
Десятичную дробь можно рассматривать как частное от деления двух натуральных чисел. Десятичные дроби в частном и процессе деления натуральных чисел получаются, если делимое меньше делителя или не кратно ему.
При делении двух натуральных чисел дробь будет конечной, если делимое кратно делителю, и бесконечной (периодической или непериодической), если делимое не кратно делителю.
Определение. Конечной десятичной дробью называется такая дробь, у которой при делении в каком-то из разрядов поэтапного деления остаток отсутствует. Такое деление возможно, если делимое кратно делителю.
Делимое кратно делителю, если при разложении на множители в его составе как множитель присутствует делитель.
Например:
3 : 15 = 0,2
Т. к. 3 * 10 = 30; 30 = 2 * 15, следовательно, делитель 15 присутствует как множитель в числе 30.
446,5 : 19 = 23,5
Т. к. 4 465 = 19 * 235, следовательно, делитель 19 присутствует как множитель в числе 446,5
Определение. Бесконечной десятичной дробью называется дробь с неограниченным числом знаков после занятой (в каждом поэтапном частном получается остаток). Такое деление можно продолжать до бесконечности, так как результат не является конечной десятичной дробью.
Бесконечная десятичная дробь получается, например, если делимое 1 или разрядная единица, а в делителе есть множители 3 или 7.
1 : 3 = 0,333333...
1 : 21 = 0,047619... (21 = 3 * 7)
1 000 : 224 = 4,4642... (224 = 7 * 32)
1 : 56 = 0,017857142... (56 = 7 * 8)
Бесконечные десятичные дроби могут иметь в определенной закономерности повторяющиеся цифры в дробной части при делении. Это может быть одна цифра или группа цифр, которые или стоят сразу после запятой, или через несколько цифр после запятой начинается повторение цифры или группы цифр.
Определение. Повторяющиеся цифры в дробной части бесконечной десятичной дроби образуют период десятичной дроби. Период в частном помещают в скобки и запись бесконечной дроби ограничивают одним периодом.
Например:
1:3 = 1,3333... можно записать как бесконечную десятичную дробь с периодом 3: 1,33333... = 1,(3)
172,3 : 3 = 57,43333... можно записать как бесконечную десятичную дробь с периодом 3: 172,3:3 = 57,4 (3)
Чтобы убедиться, что дробь периодическая, достаточно получить в частном два-три периода дроби.
Определение. Приближенное вычисление десятичных дробей состоит в том, что полученный результат округляют до определенного разряда. Для этого вычисляется одни «лишний» разряд, а затем проводится округление по обычным правилам.
Если «лишний» разряд содержит цифры 0, 1, 2, 3, 4, то разряд, до которого округляют, не изменяют, а «лишний» разряд отбрасывают; если «лишний» разряд содержит цифры 5, 6, 7, 8, 9, то его отбрасывают, а разряд, до которого округляют, увеличивают на 1.
Например, если частное равно дроби 1,23 (75), то мы можем при округлении до сотых взять число 1,23, отбросив период. Тогда в частном мы приблизились к точному ответу с недостатком (отбросили период, что составит 0,008). Если мы запишем в ответе число сотых с учетом периода и округлим до сотых, то в ответе получим 1,24 (получили приближенный ответ с избытком).