SHKOLO.RUПростые и составные числа
В зависимости от того, сколько делителей имеет число, числа делятся на простые и составные. Знание наизусть простых чисел или проверка их по таблице используется для сокращения дробей, нахождения наибольшего общего кратного и наименьшего общего знаменателя и в других вычислениях.
Определение. Простое число — это число, у которого только два делителя: 1 и само число.
Например:
13 (1 * 13 = 13);
457 (1 * 457 = 457).
Все простые числа сведены в таблицу простых чисел, из которой желательно знать наизусть однозначные и двузначные простые числа, что упростит вычисления по многим темам школьной программы. Приведем таблицу простых чисел первой сотни натурального ряда.
Составные числа кратны трем и более натуральным числам.
Определение. Натуральное число, имеющее натуральный делитель, отличный от него самого и 1, называется составным числом.
Например:
6 (1 * 2 * 3 = 6);
128 (1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128; 1 *4 * 4 * 8 = 128; 1 * 4 * 32 = 128).
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Метод поиска простых чисел разработан и применен древнегреческим ученым Эратосфеном и поэтому называется «решето Эратосфена».
Метод «решета Эратосфена» состоит в вычеркивании чисел, кратных простым числам, меньшим заданного. Наименьшее из не вычеркнутых натуральных чисел и является следующим простым числом.
Пример. С помощью метода Эратосфена определим простые числа первых двух десятков ряда натуральных чисел.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
- 1 — не простое число, вычеркивается.
- 2 — подчеркиваем. Находим числа, кратные 2, и вычеркиваем их (4, 6. 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).
- 3 — подчеркиваем. Вычеркиваем в поле все числа, которые кратны 3 (9, 15).
- 5 — подчеркиваем. Числа, кратные 5, уже вычеркнуты с поля (10,15.20).
- 7 — подчеркиваем. Число, кратное 7, уже вычеркнуто с поля (14).
- Числа 11.13,17 и 19 в нашем поле не имеют кратных чисел, подчеркиваем их.
Следовательно, из чисел первых двух десятков простыми будут числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13. 17, 19.
Расширяя поле до 1000 или 10 000, мы тем же методом, пропустив все числа через «решето Эратосфена», можем найти простые числа до 1000 или 10 000. Метод универсален, с его помощью таблицу простых чисел можно расширять до бесконечности.